高校数学で学ぶ絶対値を含む関数の定積分の求め方とは？ ポイントとは？

クロシロです。

ここでの問題は適当に数字を当てはめてるため、

引用はしておりません。

定積分の計算の中で少し手間なのが絶対値の関数です。

では、絶対値の関数の定積分の求め方

と絶対値とは何なのか確認しておきましょう。

数学の絶対値とは？

そもそも絶対値とはそこまで難しく考えるものではありません。

日常生活で例えると身長や自宅からどこかの距離までなどです。

例えば、身体測定で1年前の身長が171㎝だったとしましょう。

今年の身体測定で身長が173㎝でした。

この場合、去年より2㎝伸びた！と喜びませんか？

逆に去年より－2㎝縮んだ！と喜ぶ人はいないと思います。

絶対値の概念としては2㎝伸びたと答えるのが正しいです。

会話的に－2㎝縮んだというのがおかしいのではなく、

絶対値の世界には－は存在しないものと覚えるのが良いかと思います。

つまり、絶対値は0以上の数であればいいのです。

では、次に絶対値を含んだ関数がどういうものか説明します。

絶対値を含んだ関数とは？

絶対値を含んだ関数は画像のようにy＝｜xｰ2｜があったら

このような関数になります。

今回の定積分で言うと、

x軸より上にある関数の部分のみ考えればいいのです。

 実際のy＝xｰ2の関数はx軸より下の部分もあるのですが、

xの値が2より小さくなるとマイナスの値になってしまいます。

絶対値は何が何でも0以上の数で無いといけないため、

xが2より小さい部分ではxｰ2全体に－をつけて値を正の数にしているため、

x＜－2の場合はy＝ｰx＋2と変わってるのです。

今回の関数がたまたまそうであったのですが、

他の関数に絶対値がついても－になってしまうxの値は必ず存在するので

それを見つける作業が必須となります。

では、いよいよ、絶対値を含んだ関数の定積分お求め方を説明します。

絶対値を含んだ関数の定積分の求め方　基本問題

先ほどの関数でやってみましょう。

やる手順は

①絶対値の中身＝0を解く。

②グラフを実際に書く。

③それぞれの範囲で定積分を計算

④最後に合わせる

で解くことができます。

手順を一つ一つ確認しながら解答・解説をご覧ください。

このようになります。

絶対値を含んだ関数の定積分の問題には

x軸より下にある関数が含まれてるものだと思っておきましょう。

普通の定積分の計算と違うのは、

関数自体が0になる値で関数自体が変わってしまうことです。

普通の定積分だとそんなことは無いのですが

絶対値の問題は元々定積分で与えられてる数字の他に

絶対値を含んだ関数自体が0になる値にも注目して

解かないといけないことを覚えておきましょう。

では少しレベルを上げた問題もやってみましょう。

絶対値を含んだ関数の手入れ積分の求め方　応用編

先ほどと違うのは絶対値が含まれてるのが一部分であることです。

ですが、やることは変わりません。

解答・解説をご覧ください。

このようになります。

絶対値が一部しか含まれてない場合も

やる計算はそこまで変わらず、

関数が変わるxの値を見つけることから始まります。

ここで質問されるのは

絶対値を外すときだからそのまま外すのと

符号変えて外すパターンをやらなくていいの？と聞かれます。

結論言うと、その必要はありません。

ただし、その変わり目の範囲を判断するために

それぞれの関数がどういった形をしてるか把握するように指導してます。

絶対値を外して方程式を求めた時と

符号を変えて方程式を解いた場合の答えは必ず一致します。

その値で必ず関数が変わる瞬間になるので

2次関数だったら平方完成をしたり

判別式などを使って形を把握するようにしましょう。

まとめ

• 絶対値に0は含まれる
• 絶対値の関数はx軸より上にないといけない
• x軸より下に来る場合は符号を変えて別の関数に

今回は絶対値を含んだ関数の定積分を求めましたがいかがでしたか？

コツさえ掴めばやること自体は難しくありません。

ただし、計算ミスが多くなりやすい問題ともいえるので

落ち着いて、

途中式をしっかり書いて確実に正解できるようになりましょう。

最後に確認問題を出題するので解いてみてください。

確認問題

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