高校数学Ⅲで学ぶ理系の大学受験生必見！？置換積分のやり方、間違いを減らすには？
クロシロです。
ここでの問題、例題は私が思いついた数字で作成してるので
引用はしてません。
大学入試で数学Ⅲを学ぶ人、教えなきゃいけない人のために
今回は、意外と出来ない人が多い置換積分のやり方を紹介していきます。
置換積分とは？
普通に積分すると難しかったり計算が大変な時に使うことが多いです。
それでは、実際に置換積分をやって解いてみましょう。
置換積分の主な計算手順とは？
計算手順を簡単にまとめると、
が主な流れです。
実際に例題をいくつかやってみて手順を確かめていきましょう。
置換積分で置くときのポイントとは？
何でもかんでも全体を置き換えればいいものではなく、
置き換えたことによって別の文字で積分することになるので
置き換えた時に置き換えたはずの文字が
残らないようにしないといけません。
x²+2x+tと置いたとき、微分すると、
(2x+2)dx＝dtとなると思います。
dx＝dtとはなってないのでdtにするには
必ず元の式に(2x＋2)があるかどうか確認しないといけません。
一つにまとまった式なら問題はありませんが、
∫(2x+2)sin(x²+2x)dxのように別の式がかけられた
このような状態になったときに
どう置き換えるかで計算が楽になるかどうかが決まるので
慎重にいきましょう。
置換積分の計算方法①
1つ1つ確認していきます。
まず、dxとあると、xについて積分するという意味となります。
大変なので①の手順で
3x＋2＝tと置きましょう。
ここで大事なことは、先ほど置いた式を②の手順で微分しましょう。
一瞬ん？と思った方もいるかもしれません。
文字が2種類あるのに何の文字について微分してるか分からないからです。
この場合は、3dx＝dtとなります。先ほど説明したように、
それぞれの文字について微分したという意味になるので
微分しなさいと言われたらこのように書くと大丈夫です。
これだけではまだ完全にすべてを置き換えることが出来ないので、
少しずつ変形させると、最終的に画像のようになります。
置換積分計算方法②
次の置換積分は、引っかかりやすい問題かなと思ってる
∫2xcos(1+x²)dxがあったとしましょう。
これをcos(1+x²)=tと置かないようにしてください。
このように置いても計算できないことは無いのですが、
かなり大変になり、わざわざ置き換えた意味が無くなります。
置換積分はそのまま計算すると大変なものを
代わりに置き換えることで計算しやすくしたものだ
ということを忘れないでください。
あくまで、簡単に計算するために置換してるので今回は、①の手順で
1+x²＝tと置きましょう。
次に、②の手順を行っていきましょう。
先ほどの式を微分すると、2xdx＝dtとなります。
これで置き換えは完了です。
③の手順で当てはめていくと、
(与式)＝∫costdtとなり、かなり簡単になりました。
よって、sint+Ｃとなりますがこれで終わりにしないでください。
なぜなら、xについての積分なので、
tで答えたら問われてることが変わるので
必ず最後に④の作業を忘れずに行うと、
sin(1+x²)＋Ｃ (Ｃは積分定数)
で始めて計算が終わりとなります。
まとめ
- 置換積分は代わりに置いて計算
- 置き換えすぎに注意
- 最後に元に戻す作業を忘れずに
今回は、あまり難しくない置換積分を解いていきました。
少しでも参考になればなと思います。
最後に、確認問題を出題するのでやってみてください。
確認問題
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