高校数学で学ぶ積分を用いた面積の求め方とは？ 放物線とx軸編
クロシロです。
ここでの問題は独自に考えたもので引用はしてません。
積分の中で理解しないといけないのが面積の求め方です。
今回は積分の面積を求める問題で
放物線とx軸,y軸で囲まれた面積の求め方を紹介します。
放物線と軸に囲まれた面積の求め方の手順とは？
例題に入る前に解き方の手順を説明します。
①放物線の形を把握する
②x軸と放物線の交点を求める
③定積分を求める
大まかな手順はこのような感じです。
この手順を頭に入れていただいたところで
いよいよ例題を交えて実際に解いていきましょう。
放物線とx軸に囲まれた面積の求め方 例題 その１
このような問題があったとしましょう。
まだ基本レベルの問題ですが
一個ずつ大事な箇所があるので解答、解説をご覧ください。
このように解くことが出来ます。
まず、手順を一つ一つ見ながら説明していきます。
まず、放物線の形を把握することですが、
簡単に言うと、グラフがどんな形をしてるか調べないといけません。
2次関数なら平方完成を、
3次関数以上だと極値を求める計算などすることをおすすめしてます。
後で他の例題もやりますが、これをやる理由は、
放物線がx軸より上にあるかどうか調べるためです。
今回の問題はx軸より上であったため問題は無かったのですが、
仮にx軸より下にあったら答えは必ず負の値になります。
だからと言って答えまで負の値にするのではなく、
最初からｰをつけて計算する必要があるのです。
何度も言うように面積を求めてるので
答えが－になるのはあってはならないからです。
次に②の作業ですが、x軸との交点を求める計算ですが、
これは方程式を解くだけで問題は無いかと思います。
3次関数以上なら極値を求める計算で見つけることが出来るはずです。
この作業をしないと∫につく数が何か分からないままになります。
それらが出来ることで後は定積分の計算をすれば答えを出すことが出来ます。
では、実際にx軸より下にあった場合の例題もやってみましょう。
放物線とx軸に囲まれた面積の求め方 例題 その２
このような例題があったとしましょう。
やることは先ほどと同じなので、一気に解答・解説をご覧ください。
このように解くことが出来ます。
先ほどと違うのはグラフ自体です。
そりゃそうだろ！と思いますが
グラフがx軸より下にあることが先ほどと違うのです。
－をくくった状態であえて解答・解説は書きましたが
－が無かったら答えが－になってしまいます。
先手を打って－をつけて嘉永参することが重要なのです。
この類で計算ミスが増えるので途中計算を記入する時だけちゃんと書いて
計算する時は－を忘れて最後に符号を変えるのもアリだと思います。
まとめ
- 面積の計算はグラフの形を把握すること
- 区間内のグラフがx軸より上か下か判断する
- x軸より下なら最後に符号を変える
今回は基本計算の面積をやっていきました。
初めのうちはそこまで難しくないと思いますが
思わぬところで計算ミスが起こりやすいので
スピードより丁寧に計算することを重視してください。
最後に確認問題を出題するので解いてみてください。
確認問題
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