中学数学で学ぶ2乗に比例する関数の利用の問題の種類とは？1次関数の利用との区別は？
クロシロです。
ここでの問題は独自に考えてますが
似た問題があるかもしれませんが、引用はしてません。
今回は2乗に比例する関数の利用の解説をしていきます。
が、この記事を見る前に一次関数の利用が出来てる前提なので
まだ一次関数の利用が自信のないかたは
こちらの記事を見てからにしましょう。
https://kuro96white.hatenablog.com/entry/2021/02/03/114731
2乗に比例する関数と1次関数の利用の区別はどうしたらいい？
2乗に比例する関数の利用を学び終えた後に
1次関数の利用を復習しようとすると途端にできなる生徒を沢山見ました。
いくつか例題を用いて説明しますが、見分けるポイントは
- 規則的に増えたり減ったりしてるか？
- 不規則に増えたり減ったりしてるか？
を重点的に見るようにしましょう。
結論を言うと、
規則的に増えたり減ったりしたら1次関数の利用です。
不規則に増えたり減ったりしたら2乗に比例する関数の利用です。
では2乗に比例する関数の利用の例題を解説していきます。
2乗に比例する関数の利用 例題 放物線と直線編
このような問題があったとしましょう。
この手の問題は2乗に比例する関数と一次関数が混ざった問題で
定期テストでよく出てくる問題化と思ってます。
まず①と②はそこまで難しくないので解答をご覧ください。
①と②が解けないとはっきり言ってこの問題を解くのは無理です。
だから一次関数の知識が必須となるのです。
問題なのが③の問題です。
実際の三角形はこのようになって
二つに分けたほうが分かりやすいと思います。
三角形の面積を求める時に必要になるので
Ａ,Ｂを通る直線の切片をＣ(0,8)とおきます。
三角形の面積を求める公式は底辺×高さ÷2でしたね？
では、紫の三角形と黄色の三角形の底辺、高さは
それぞれどうなるかというとこうなります。
それぞれの底辺はOCの長さです。
つまり、先ほど求めた直線の式の切片の値がそのまま底辺となります。
問題となるのが高さです。
高さでよく間違ええるのが高さは底辺から垂直に下ろしたときの長さであるので
三角形の辺の長さで高さを使用する人がたまにいますが
そんなことは絶対にしないように気を付けてください。
紫の三角形の高さは点Aのx座標のー4ですが、
長さに－はありえないので絶対値の知識を採用して4としましょう。
黄色の三角形の高さは点Bのx座標の値なので
２となります。
それぞれの底辺と高さが分かったので後は計算するだけです。
紫の三角形の面積は16、黄色の三角形の面積は8なので
あとはそれらを合わせると24となり
それが三角形の面積の答えとなります。
ここで注意事項があります。
面積を求める時に忘れてはいけないのが単位です。
今回の問題に単位（㎝²など）はいると思いますか？
答えは今回の場合、いりません。
なぜかというと、1メモリ1㎝という定義は無いからです。
問題によっては最後の最後に1めもり1㎝とする
と書かれてたら面積の値に㎝²を付けないといけません。
2乗に比例する関数の利用 動点問題編
まず①はそこまで難しくないので後で解答。解説に載せておきます。
図形の上を動く点の問題は一次関数の利用でもありました。
一次関数の利用と二乗に比例する関数の利用のどちらを使うかといわれても
問題によってどちらも使う場合もあります。
なので、区間ごとにしっかり分けられれば分かってくるので解説をご覧ください。
まず、①の問題ですが、
正方形を画像のように広げると分かりやすいかと思います。
後は緑の長さが0になった時が
出会う瞬間なので方程式を解くだけで終わります。
一方の②は一次関数の利用とやり方は同じで
始まりの点と終わりの点さえ分かれば
後はセオリー通りに解くことが可能です。
問題なのが③で最初の式がy＝x²となってますが、
なぜ最初だけ2乗に比例するのでしょう？
画像を比較して何が違うか分かった人は勘が良いです。
2乗に比例する関数は
三角形の面積を求める時の底辺と高さがそれぞれ変わっていることです。
このように点が動くことによって
底辺も高さも変わってしまうと必ず2乗に比例する関数になります。
一方の一次関数の利用は底辺は変わっても高さが変わってません。
2点動いても変わる長さが1つだけだと
それは一次関数の利用となるので
図をしっかり書いて判断するようにしましょう。
まとめ
- 2乗に比例する関数の利用は一次関数と混ざってる問題が多い
- 動点問題は面積の底辺と高さどちらも変わる時が2乗に比例
今回はそれなりに内容が濃かったので
途中疲れてしまうのも無理はないかと思います。
でも、この違いが分かれば実力テストや模試、入試などで
関数の分野は得点源に出来るので頑張って理解してください。
最後に確認問題を出題します。
確認問題
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