田舎の塾講師が教える平行四辺形を利用した証明を簡単に解くコツ、いつ使うのか?
クロシロです。
ここでの問題は私が思いついた問題を使ってます。
似たような問題があると思いますがご了承ください。
今回のお題は平行四辺形です。
受験に出題されるかと言われたら利用することはあっても
単体で出題されることはない問題ですが定期テストなどでは出題される問題です。
今回は分かってるようで分からない中学生、
どうやって教えたら悩んでるアルバイトの方のために
平行四辺形の証明、解くコツを説明します。
平行四辺形の性質の確認
平行四辺形の証明を解くには平行四辺形の性質を
しっかり理解することが不可欠なので一つずつ確認していきましょう。
①2組の対辺がそれぞれ平行
図のように向かい合ってる辺同士が平行だと言うことが出来れば
平行四辺形であると証明できます。
②2組の対辺がそれぞれ等しい
図のように向かい合ってる辺同士の長さが等しいと言えれば
平行四辺形であると証明出来ます。
③2組の対角がそれぞれ等しい
図のように対角線上にある角度の大きさが等しいと言えれば
平行四辺形であると証明出来ます。
④2つの対角線がそれぞれの中点で交わる
図のように対角線を引いたとき、紫の点が赤の対角線、
オレンジの対角線の中点になれば平行四辺形だと証明出来ます。
⑤1組の辺が平行でその長さが等しい
図のように1組の対辺で平行と等しいことを言わないと
平行四辺形とは証明できないので気を付けてください。
そもそも平行四辺形って?
平行四辺形になるための条件を述べてあれ?と思った方はいませんか?
長方形や正方形って平行四辺形なの?と。
結論言えば、平行四辺形のグループに属してます。
ただ、長方形は平行四辺形であっても
平行四辺形は長方形ではないので気を付けてください。
先ほど述べた条件に追加するだけで長方形にも正方形にもひし形にもなるのです。
例えば、それぞれの角度が90°が加われば長方形になります。
これに辺の長さを同じにしたら正方形になります。
先ほど紹介した条件を平行四辺形だと必ず満たしてることが分かるのです。
平行四辺形の証明問題
<例題>図のような平行四辺形ABEFがある。
点Aと点Cから線分EBに垂線を引きそれぞれの交点をC、Dとする。
△AEC≡△FBDであることを証明せよ。
証明を解くコツはこの記事からご覧ください。
まず、平行四辺形であることから合同を証明したい三角形の中に
等しいと言える部分があるか探してみましょう。
今回はAE=FBと∠AEC=∠FBDがあります。
どれを使うかは置いといて他に等しいと言える部分を探してみましょう。
すると、∠ACE=∠FDB=90°もいえるでしょう。
さて、今回証明する三角形は直角三角形であることが分かったと思います。
なので直角三角形の合同条件の可能性も出てきます。
今回は直角三角形の合同条件を使います。
直角三角形の合同証明の記事はいずれ投稿するのでここでは模範解答を記載します。
(証明)
△AECと△EBDにおいて
AE=FB(平行四辺形の性質)・・・①
∠AEC=∠FBD(錯角)・・・②
∠ACE=∠FDB=90°・・・③
①②③より斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいので△AEC≡△EBD
まとめ
- 平行四辺形の性質を使った証明が出題されやすい
- 長方形や正方形も平行四辺形
今回は平行四辺形のよくある問題を使ってみました。
平行四辺形の性質は分かってても証明問題で中々活用できない人が多くいるので
上手く活用できるように頑張ってください。
最後に確認問題を出題するので解いてみてください。
解答、解説が欲しい方はお問い合わせからよろしくお願いします。
確認問題
図のような平行四辺形ABCDがある。
対角線BDを折り目にして折って頂点Cは点Fにいったとする。ABとDFの交点をEとする。
このとき△ADE≡△FBEを証明せよ。