中学校の数学で苦手な人が意外と多い一次関数の利用の解き方とは？
クロシロです。
ここでの問題は私が独自に思いついた数字で問題を出題しており、
引用はしていないのでご安心ください。
この記事を見に来た人は最初にこの記事を見てからまたここにきて下さい。
理解力が格段に上がります。
今回は、都立、県立などの高校入試で出題されることが多い
一次関数の利用の問題の解き方を紹介します。
ここからの記事はかなり長くなるので
最初から見ると疲れるので見たいところから飛んでいくことをおすすめします。
この分野も解説してほしいとリクエストがあれば随時更新していきます。
一次関数の利用がなぜできない？
一次関数の利用が苦手な人でも一次関数の式自体は求めることが出来ると思います。
文章で日常生活のことなどが絡むと何が何だか分からなくなると思います。
今回は私がよく見た一次関数の利用の問題の解説
例題を使って解説していこうと思います。
一次関数の利用を解く手順
一次関数の利用の問題の解く手順を先に解説します。
手順は大きく分けて５つあり
１．文をしっかり読む。
２．規則的なのか不規則なのか判断する。
３．それぞれの区間の始まりと終わりを把握する。
４．始まりと終わりを通る直線の式を求める。
５．始まりと終わりに点を打って線を引く。
後は2点通る直線の式の求め方さえできればこれだけで大体解けるようになります。
それではいよいよ本題に行きましょう！
一次関数の利用 速さ編
例題として、
さあ、手順通りにやってみましょう。
１．文をしっかり読む。
文を読むだけでなく何が起きたのかを図で書くと良いです。
２．規則的なのか不規則なのか判断する。
どういうことかというと、
一定に増えたり減ったりしてるか判断する必要があることです。
それぞれの区間で変化があるのは構わないです。
それでも不規則な変化してると思ったら
それは2乗に比例する関数の分野なので後日投稿します。
今回は、自宅からバス停。バス停からC駅。C駅からB君宅。
と3つの区間に分けられ、それぞれでスピードに変化がないため、
一次関数の利用の知識で解くことが出来ます。
３．それぞれの区間の始まりと終わりを把握する
それぞれの区間ごと見ていきましょう。
まず、自宅からバス停までですが、
A君は午前10時に家を出て分速30mでバス停まで歩いていきました。
10時50分発のバスに乗るのでバス停に着いてから20分待ちました。
この文で大事な所に線を引きました。
自宅からバス停まで30分歩いたことは理解できましたか？
次に、分速30ｍは1分間で30m進めるので30分歩くと
0.9㎞または900m進んでることが分かります。
これで、始まりと終わりを把握することが出来ました。
つまり、スタートの段階では進んでいなく、時間も経過してないので
（0，0）を通ることが分かります。
便宜上、座標で表記していきます。（x，y）
終わりがどこかというと、バス停です。つまり、(30,0.9)となります。
４．始まりと終わりを通る直線の式を求める。
先ほど、（0，0）と(30,0.9)を通ることが分かったので、
後はこの2点を通る直線の式を求めれば良いのです。
ここでの計算は割愛します。答えはy＝0.03x （0≦ｘ≦30）となります。
さて、10時50分発のバスに乗るのでバス停に着いてから20分待ちました。
に注目すると、20分間歩いてないことになりませんか？
式としてはy＝0.9 （30≦x≦50）も必要になります。
問題は次からです。先ほどの手順でバス停から駅までの区間の式を求めてみましょう。
まず、始まりは（50,0.9）です。ここで間違う人は、
先ほど何が起こったか無視してるため間違えていると考えられます。
この区間での文のポイントは、
時速60㎞のバスでC駅まで向かいました。10分後、駅に着きとあるため、
バスに乗った時間は10時50分なので駅に着いた時間は11時となります。
進んだ距離は1㎞または1000mのため、
ここまで1.9㎞または1900m進んだことになります。
つまり、終わりの点は（60，1.9）のため、この区間は
（50,0.9）と（60，1.9）の2点通る直線の式を求めれば答えが出ます。
よって、バス停から駅までの直線の式はy＝0.1xｰ4.1 （50≦x≦60）となります。
何となく、流れは分かってきたのではないのでしょうか？
最後に駅からB君宅までの式を求めましょう。
スタートは、先ほどの終わりと一致するので（60，1.9）です。
肝心の終わりですが、
これまで1.9㎞進んだため、残りは500mでB君宅に着くことになります。
最後の速さは分速50mのため、10分進めば終わりです。
よって、終わりの点は（70,2.4）となります。
求める直線の式は、y＝0.05xｰ1.1 （60≦x≦70）となります。
５．始まりと終わりに点を打って線を引く。
ハイ出来上がりです。コツさえ掴めば出来るようになります。
長すぎましたが、次は図形の動点の問題も触れてみましょう。
一次関数の利用 図形編
例題として
まずは、１．文をしっかり読む。をやって図を描いてみましょう。
２．規則的なのか不規則なのか判断する。
区間ごとに速さを変えましたがこれも規則的に増えてるので
一次関数の利用と判断することが出来ます。
３．それぞれの区間の始まりと終わりを把握する。
AB間
この手の問題こそ私のやり方が発揮されやすいと思います。
まず、始まりは点PがAにあるときです。
この時、スタートしてないのでx＝0であり、y＝0でもあります。
始まりの座標は（0，0）いわゆる原点となります。
そして、終わりはBに来たときです。
秒速1㎝なのでBに来る時間は6秒後となり、x＝6となります。
更に、面積も底辺10㎝、高さ6㎝直角三角形が出来上がるので
y＝30となり、終わりの座標は（6，30）となります。
最初は原点と（6，30）を通ることが分かります。
BC間
次に、点PがBC上にいる時も考えてみましょう。
ここで気づいてほしいことは今回は面積が一定であることです。
三角形の面積の公式は底辺×高さ÷２ですよね。
では底辺はADで高さはどこかというと、赤い三角形も青い三角形も同じなのです。
それが分かればやることは難しくなく、始まりの点は（6，30）で
終わりの点ですが、10㎝の長さを秒速2㎝で進んでるので、
5秒後に頂点Cに着くことになります。
よって、終わりの座標は（11,30）になります。
CD間
最後に点PがCD上にいる時を考えてみましょう。まず、始まりの点は（11，30）です。
CD上では6㎝の長さを秒速3㎝で進んでるので、2秒後に頂点Dに着くことが出来ます。
点Pが頂点Dに来た段階で三角形APDの面積は0になるので
終わりの点は（13，0）となります。
４．始まりと終わりを通る直線の式を求める。
それぞれの区間の始まりの点と終わりの点が分かったので、
それぞれの直線の式を求めれば、
AB上はy＝5x （0≦x≦6）
BC上はy＝30 （6≦x≦11）
CD上はy＝‐15x＋195 （11≦x≦13）
と求めることが出来ます。
５．始まりと終わりに点を打って線を引く。
まとめ
- 一次関数の利用を解くために2点通る直線の式の求め方をマスターが必須！
- それぞれの区間の始まりと終わりを把握する！
学校のワークなどで解説見ても理解しにくい分野だと思います。
塾でアルバイトしてた時、
偶然、このやり方を思いついて様々な問題で解けることは実証済みなので
どうしても無理だった人は是非、このやり方でやってみてください。
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