中学数学で学ぶ2乗に比例する関数の求め方とは？抑えるべきポイントは？

クロシロです。

ここでの数字は適当に思いついた数を入れてるので

引用はしておりませんが

同じ問題になってるかもしれませんがご了承ください。

今回は中学3年生で学ぶ

2乗に比例する関数の基本事項を説明していこうと思います。

比例や一次関数と何が違う？

中学1年生で学んだ比例は0から始まって

規則的に増えたり減ったりしてました。

反比例は

x,yのペアをかけたら必ず比例定数になる特徴がありました。

一次関数は比例と似てスタートが0以外の数で

規則的に増えたり減ったりしてました。

一方で2乗に比例する関数は高校では二次関数と呼ばれますが

不規則に増えたり減ったりしてます。

これだけではよく分からないと思うので

実際にグラフを見てみましょう。

2乗に比例するグラフとは？

2乗に比例する関数は不規則に変化するため、

ピンクのように座標ごとに線を引くと

カクカクして見た目が良くないですね。

一方で曲線にして線を引くと

滑らかになってます。

直線でつないだ線を滑らかにするために

グラフ自体を近似させていき

このような形になったと思えばいいでしょう。

では、いよいよ2乗に比例する関数の求め方を紹介します。

 

2乗に比例する関数の求め方とは？

このような例題があったとしましょう。

1年生では比例・反比例、2年生では一次関数とやってきましたが

問題文によって何を求めるかを判断することが必須となります。

今回は2乗に比例と書かれてるため、

y＝ax²の式であることが判断できます。

yはxに比例、又は反比例すると書かれてたら

比例、反比例の式になります。

では、今回の場合の解答、解説をご覧ください。

この手の問題で間違えやすい箇所は

xの値を2乗し忘れること、または2倍してしまうミスが多いです。

教える方はそこを特に注意深く見ないとずっと同じミスをしてしまいます。

代入してaの値を求めて終わる人もたまにいるので

どこが終着点なのかを明確にすることもおすすめします。

2乗に比例する関数の変域の求め方とは？

次に変域の求め方をやってみましょう。

変域を求める問題で注意しないといけないことは

xの変域が－から＋になってるかを見ることです。

今回はどちらも＋の値なので今まで通り、

値を代入して小さい順に入れてけば終わりです。

なので4≦y≦16で終わることになります。

ではこのような例題になったらどうでしょう？

 先ほどと何が違うか分かると思いますが

変域の値が－と＋で挟まれてます。

2乗に比例する関数で一番間違えてはいけない箇所で、

先ほどのように解くとx＝4のとき最大値が16、

x＝‐2のとき最小値が4となりそうですが、

これは間違いです。

このようにグラフで見ると、

x＝‐2を代入したより小さい値になる数がありませんか？

それが原点なのです。

つまり、マイナスからプラスに変域が変わる時、必ず原点を通ることになり、

x＝0の値が最小値になるのです。

なので、最終的な答えは

x＝0のとき最小値が0、x＝4のとき最大値が16となります。

今回はx²の係数がプラスの値であったので最小値が0になりましたが、

x²の値がマイナスなら逆になり、最大値が0となることが決まります。

なので、2乗に比例する関数の変域を求める問題は

変域が－から＋になってるかしっかり見て、

なってたら必ず0が関わってくることを頭に入れてください。

まとめ

• 2乗に比例する関数を求めるにはxの値を2乗することを忘れない
• 変域の問題は符号に注意！
• －から＋の変域なら必ず0が関わってくる

今回は中学3年生で学ぶ

2乗に比例する関数の基本知識をまとめましたがいかがでしたか？

この関数は高校でも出てくるので

まずはグラフがどんな形をしてたかだけでも忘れないでください。

最後に確認問題を出題します。

確認問題

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