中学で学ぶ図形の合同証明で必須な覚えておくべき角度とは？

クロシロです。

ここで扱う問題、数字は私が独自に作成してるため引用などは行っておりません。

高校入試でどこの都道府県でも出題される確率が高い図形の証明があると思います。

今回は、図形の証明を解くカギにもなる

覚えておくべき角度の知識をおさらいしていこうと思います。

様々な角度の名称

 図形の証明には角度の名称がないと減点などになって損をします。

それぞれ確認していきましょう。

①対頂角

対頂角は、向かい合ってる角度の大きさが等しいものです。

これが成り立つ理由として、∠aと∠bを合わせたら180°になります。

どこでやっても必ず∠a＋∠b＝180°となるので等しくなることが分かります。

②錯角　同位角

錯角は図のようにℤと書いて出来た二つの角度が錯角の関係になります。

勿論Zが逆でも成り立ちます。

ただし、平行という条件が無い限り、錯角の関係があっても

大きさが等しくなることは無いので気を付けてください。

錯角は対頂角と同位角が

合わさって出来たものと覚えるのもアリだと思います。

一方の同位角とは、図のように同じ場所にそれぞれある角度が同位角となります。

これも同様に平行でないと大きさまで等しくなりません。

③鋭角(えいかく)　鈍角(どんかく)

証明にあまり関係ないですが、

鋭角とは、90°より小さい角度のことを言います。

覚え方としては、鋭角の鋭は鋭(するど)いとも読むので鋭いといえば、

とがってるイメージを持ちませんか？

なので、私は鋭角は尖った角と覚えさせました。

一方の鈍角は90°より大きく180°より小さい角度のことです。

鈍角の覚え方として、鈍(にぶ)い角とイメージするとよいでしょう。

豆知識として、

三角形の中に1つでも鈍角があったら残りの角度は必ず鋭角になります。

三角形の外角

∠a＋∠b＝∠dの公式を聞いたことがあると思います。

公式はただ覚えようとすると忘れてしまいます。

なぜ、

この公式が出来上がったのかまで

覚えれば忘れにくくなるので証明してみましょう。

まず、三角形の内角の和は180°ですよね？

つまり、∠a＋∠b＋∠ⅽ＝180°・・・①が出来上がります。

次に、∠ⅽ＋∠d＝180°・・・②も成り立ちます。

それでは、①から②を引いてみると、

∠a＋∠b－∠d＝0となります。dを移項させたら先ほどの公式が出来上がります。

この公式を覚えようねと教えても中々覚えられない生徒は必ずいるので、

このように忘れにくくする工夫をしてみましょう。

多角形の内角の和

n角形の内角の和の公式は180°×(nｰ2)で求めることが出来ます。

これは、仕組みさえ分かれば案外覚えることが出来るかと思います。

まず、180°はどこから来たかというと、三角形の内角の和です。

一方の(nｰ2)は三角形の個数です。

一瞬、ん？と思った方もいると思うので、六角形でやってみましょう。

このように六角形は三角形を4つくっつけると出来上がります。

それなら、n－2の2っていらないじゃんと思いませんか？

何で2引かれるの？と聞かれたら逆に一角形や二角形の図形ってある？

と聞き返してみましょう。そんなもの無いですよね？

その2個分引いてるからと言えば納得してくれます。

多角形の外角の和

多角形の外角の和はどんな多角形でも必ず360°です。

証明問題であまり使われることは無いかと思いますが、証明してみましょう。

図のように五角形の外角の和が360°なのか試してみましょう。

まず、五角形の内角の和は540°であるため、

∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＝540°・・・①

次に、それぞれの内角と外角を足したら180°であり、5つ分あるため、

∠a＋∠a＋∠b＋∠b＋∠c＋∠c＋∠d＋∠d＋∠e＋∠e＝900°・・・②

さて、②から①を引いてみましょう。すると、

∠a＋∠b＋∠c＋∠d＋∠e＝360°となります。

これは五角形がたまたま成り立ったのではなく、

どんなに大きい多角形でも必ず最後は外角の和は360°になります。

まとめ

• 錯角、同位角は平行の条件が無いと大きさは等しくならない
• 三角形の外角の公式は自分で求められるようになると忘れにくくなる
• 多角形の内角の和は三角形が何個あるかで考える
• 多角形の外角の和は絶対に360°

今回は、図形の証明で知ってたほうが良いと思う知識をまとめました。

後日、

三角形の合同証明の記事も投稿するのでこの知識は忘れないで欲しいと思います。

最後に、角度を求める問題を出題するのでやってみて下さい。

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