高校数学で出来ないといけない2次関数の基礎を固めるには？

クロシロです。

今回は思い切って勉強の記事をやってみようと思い、

数学の基本の問題について触れていきます。

断りとして、教科書や問題集などを引用はしないで

私なりの解釈で書いてるのであしからず。

最後の確認問題も

適当に数字を入れてるのでたまたま同じものがあったらごめんなさい。

今回は高校1年生が最初に躓く？2次関数について紹介します。

 2次関数とは？

まずは、2次関数の言葉1つ1つ確認してみましょう。

2次とつく数学のもので浮かぶのは2次方程式があると思います。

それらの式に共通してあるものは何かというと、平方(2乗)です。

つまり、2次方程式や2次関数には必ずⅩ²となってるはずです。

それでは関数とは、基本的には文字が2種類あって成り立ちます。

一般的に書かれている形は、y＝ax²＋bx＋ⅽと書かれてると思います。

（a,b,cは何かしらの数字が入ると思っていただければいいです。）

xに1や2を代入すると何かしらの値が出るよ

となるのが関数です。

それでは、2次関数を学ぶにあたって

これは出来てほしい基本事項を確認していこうと思います。

平方完成

平方完成をすることで2次関数がどんなグラフなのかが分かるのです。

さて、平方完成のやり方を確認していきましょう。

大体のステップはこれかと思います。

例として、y＝x²＋6x＋15という2次関数があるとします。

まずは①の作業を確認します。

今回はx²の係数が1なので次のステップに行くことが出来ます。

②の作業ではxの係数が6なのでその半分の3が出てきます。

この3は次のステップのAに当たる数となります。

③で（x＋3）²-9+15となります。最終的に（x＋3）²＋6と求めることが出来ます。

この形にしたことで軸と頂点とグラフの形が分かります。

答え方としては軸x＝-3で頂点は（-3，6）となります。

ここで気を付けなければならないことは、

平方完成した3の符号を変えないといけないことです。 

平方完成したことで何が分かったかと言うと、

グラフの形は勿論、今回は最小値も分かります。

平方完成した形にxに何を入れたらyの値が最小値になるか考えると、

符号を変えるしかありえないのです。

形から分かるように、頂点が最小値であることが分かります。

緑のグラフはy＝x²のグラフで、青のグラフは先ほど平方完成したグラフです。

緑のグラフを左に3つ(x軸方向にｰ3)、

上に6つ(y軸方向に6)移動させたグラフが青のグラフになるのです。

中学校で学んだ放物線のグラフは頂点が必ず原点だったのに対して、

高校の2次関数は頂点が原点ではないことが多いのです。

ここで、計算ミスが多くなるパターンを解説します。

次の例は、y＝-2x²+12x＋22とします。

先ほどの順序でやると、x²の係数がｰ2となってるため、くくる必要があります。

ここで気を付けなければいけないことは、

全体をくくるのではなく、文字が含まれてるとこまでくくることです。

正解は、y＝-2（x²-6x）＋22であり、y＝-2（x²-6x-11）とはしないのです。

②の工程にいくと、y＝-2（x-3）²+22-2×（-3）²となります。

ここでのミスは、くくる前に平方完成することは絶対にダメです。

くくったことで何が分かるかと言うとグラフの形が分かります。

今回のグラフはy＝-2x²のグラフが平行移動したことが分かります。

平方完成することで基準となるグラフが

どのくらい平行移動したか分かるのが特徴です。

グラフの最大値・最小値

 グラフの最大値、最小値について考えてみましょう。

2次関数はxの値の範囲があるかないかで

最大値、最小値があるかないか判断することが出来ます。

例として、y=ax²（a＞0つまりaは正の数）があるとしましょう。

x²の係数が0より大きかったらグラフは下に凸となります。

この時は必ず最小値が存在します。

その最小値は何かというと、頂点です。

そうなると、y=ax²（a＜0つまりaは負の数）になったら逆となり、

頂点が最大値となります。

しかし、最大値・最小値を求める問題にはxの変域（範囲）

が存在するものが多くあると思います。

その時に必要な作業こそ平方完成なのです。

まず、平方完成したとき、

頂点のx座標の数が変域に入ってるか否か判断する必要があります。

入っていれば問題ないですが、入ってなかったら変わってきます。

例題で確認してみましょう。

今回の式は、y=x²+4x-2の式で、平方完成すると、y=（x+2）²-6となります。

軸はx=-2で頂点は（-2，-6）となります。

xの変域を①-4≦x≦2と②-6≦x≦-4の2種類で考えてみましょう。

①のxの範囲は、-4以上2以下（4と2は含まれてます）なので、

頂点のxの値は範囲の中にあるため、

x=-2のとき最小値はｰ6と答えることが出来ます。

しかし、これで終わりにしてはいけません。

範囲があることによって、最大値も存在してるのです。

最大値を求めるには、xの変域の端にある数を実際に代入して求めていきます。

今回で言うとｰ4と2になります。x=-4を代入すると、y=-2になります。

x=2を代入すると、y=10になります。

最大値なのでyの値が大きい方が最大値になります。

最終的な答えは、x=-2のとき最小値はｰ6、x＝2のとき最大値は10と答えます。

では、②の範囲を考えてみましょう。先ほどの範囲と何が違うかと言うと、

頂点のxの値が範囲に入ってないことです。

つまり、頂点の値を使うことが出来ないことが分かります。

この手の問題は、

xの範囲の数を代入してどちらかが最小値で残りが最大値になることが確定します。

答えは、x=-4のとき最小値はｰ2、x＝-6のとき最大値は10と答えます。

最大値、最小値の問題は、

場合分けするときにかなり重要になるので

xの変域に気を付けて求めていくことが大事です。

判別式

判別式は2次方程式でやってると思います。

2次関数での判別式を使う時を把握でキレようになりましょう。

ax²+bx+c=0の形で判別式はⅮ=b²-4acが一般的な形です。

値によって解が2つ,1つ,解なしとなりますが、

2次関数ではx軸と交わってるか否か判断する材料になります。

他にも、2次関数のグラフと1次関数のグラフで判別式を使うこともあります。

つまり、判別式は、共有点をもつもたないの判断で使うのです。

一般的に判別式を使う時は、x,y以外の文字が入ってるときに使うことが多いです。

まとめ

• 平方完成をマスターする。
• 判別式は軸に交わってるか否か判断。
• xの変域があれば最大値・最小値を求めておく。

いかがでしたか？

2次関数の基本をおさらいしました。

これらが出来てないと場合分けを解くことはできないです。

基本を押さえたつもりでも、もう一度復習してみましょう。

数学の記事では、

最後に理解できたか確認するための問題を出して終わりにしていきます。

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