高校数学で学ぶ極値の求め方とは？
クロシロです。
ここでの問題の数値は適当に入れた値なので引用は行ってません。
そもそも極値って何？
極値とは最大値、最小値とは異なり、
グラフが増加から減少または減少から増加に変わる分岐点と思えばいいでしょう。
グラフで言うと山のてっぺん、谷の底の部分であります。
最大値と最小値はい関数の最も大きい値、最も小さい値であるので
極大値と最大値、極小値と最小値は全くの別物です。
極値で何が分かる？
極値の問題で何が分かるか分からないと意味が無いので
説明すると、
極値を求めることでグラフの形を把握することが出来ます。
一次関数はただの直線。二次関数は放物線。
では3次関数以降はどうなる？というのを調べる作業になります。
では実際に解く手順を紹介していきます。
極値を求める手順
①与えられた関数を微分
②微分した関数＝0の方程式を解く
③元の関数に②で求めた値を代入
④増減表を書く
⑤増減表を基にグラフをかく
それぞれのポイントは後で解説しますが
大体やる手順はこんなものかと思います。
では実際に例題を解いてみましょう。
極値の求め方 例題
このような問題があったとしましょう。
先に模範解答をどうぞ。
①の手順は微分をするだけです。
②の手順を踏む理由は関数がずっと上がるか下がるか
調べるために行ってます。
ここで求まったxの値は極大値、極小値の候補の値となります。
今回は3次関数であるので微分したら2次方程式になるはずです。
その時の解が2つあれば必ず必ず極値が存在します。
逆に解が1つだけまたは求まらない場合は極値は存在しません。
微分してそれぞれ求めたxの値を元の関数に代入して
出た値の大きい方が極大値、小さい方が極小値となるのです。
元も関数なので微分してない関数に代入しないと意味ありません。
今回は極値が存在する問題でしたが、
仮に極値が存在しないのはどんな問題なのかも紹介します。
極値の求め方 極値が存在しない例題
同じように模範解答をどうぞ。
同じ手順を踏むと、2次方程式を解くときに
解が虚数解(解の公式で求めた時にルートの中身が負の数)となると
増加から減少する箇所が無いことを意味するため、
この場合は常に減少すると判断することが出来ます。
増加、減少の判断方法とは？
解き方を理解したものの
増加、減少ってどうやって判断するの？
と聞かれることがあります。
始めて解く人はどうしても正しいか自信が持てないのは仕方ないです。
そんな時に教えるのが、極値に近いxの値を代入してみろ。
と言います。
例えば、最初の例題だとx＝0,1だったので
x＝ｰ1を代入してみるとｰ4となり、極値のx＝0の値は1であるため、
xの値が増えれば増えるほど値が大きくなることが分かるので
この区間は増加してることが分かるのです。
この他に3次関数にしか使えませんが、
x³が正の数か負の数かで判断することも可能です。
例題のグラフはあえてx³が正,負とそれぞれ分けてやって
気づいた方がいるかと思いますが
x³自体が正の数だと増加→減少→増加となり
x³自体が負の数だと減少→増加→減少と必ずなります。
まとめ
今回は極値の求め方の基本レベルをやってみていかがでしたか？
こういう基礎が出来ないと応用問題や入試問題には全く対応できないので
しっかりやり方をマスターしてください。
最後に確認問題を出題するのでやってみてください。
確認問題
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