高校数学の微分に必須な接戦の方程式の求め方は？
クロシロです。
ここでの問題は似てても数は適当に当てはめてるので
引用は行っておりません。
接線に何かしらの関係があるところまで記事に書きました。
記事を見てない方はこちらからどうぞ！
今回は接戦の方程式、法線の方程式の求める手順を説明していきます。
接線と法線の違いとは？
まずは、言葉だけで説明すると、
接線はグラフに接してる線で交わる部分は1か所のみとなります。
その点こそ接点となります。
一方で法線とは、接線に対して垂直な線で接点と交わってます。
画像でイメージして覚えるようにしましょう。
では、いよいよ微分を用いて接線の方程式を求めるやり方を紹介します。
微分係数と接戦の傾きは何の関係がある？
微分して出た値が何で接線の傾きになるの？
という声をよく聞きます。
専門的内容を記載したら頭が痛くなるので
クロシロ流に簡潔に説明すると、
微分するときにこんな公式がありましたよね？
これはlimが無いと変化の割合(グラフの傾き)を求める公式でした。
hの値が0以外の数だとこんな形になります。
hが0以外だとこのように接点が2つ出来てしまいます。
これでは接線とは言えません。
しかし、hが0だと
このように接点が1つのみとなります。
limとは
出来るだけその数に近づけるというイメージをもてばいいかと思います。
ではいよいよ
よく出る接線の方程式の求め方を2つ紹介していきます。
微分を用いて接線の方程式の求め方 その１
このような例題があったとしましょう。
まずは、接線の方程式を求める手順を確認しましょう。
①与えられた関数を微分
②微分して出た値に接点のx座標の値を代入
③②で出た値が接線の傾きとなる。
④yｰ(接点のy座標の値)＝(③で出た値)×(xｰ接点のx座標の値)に当てはめる
これでグラフ上に接点がある場合の接線の方程式は求められます。
でこれを踏まえては模範解答をご覧ください。
このように微分のミスをしないことと
直線の式に代入する時の符号のミスさえなければ
間違うことはほとんどないです。
では、法線の方程式を求めるにはどうするかというと、
接線の方程式があったらやることは難しくありません。
垂直な直線はかけてｰ1になる定義があるからです。
値としては違和感あるかもしれませんが垂直の条件さえ忘れなければ
必ず解けるようになります。
次に別バージョンの問題も紹介します。
接線の方程式の求め方 その2
このような問題が他のパターンかなと思います。
何が違うかすぐに分かる人は良いのですが、
分からない人はこの図で確認してみてください。
先ほどの問題と何が違うかというと、
与えられてる座標がグラフ上にないということです。
つまり、
接線の式が与えられた座標を必ず通ることが条件となってるのです。
この手の問題の解き方は
先ほどより長くなりますがこんな手順で解けるかと思います。
それでは模範解答をどうぞ！
こんな感じに解けば大丈夫かなと思います。
良く出題される問題を2つ説明しましたが、
区別はどうつけたらいいの？と聞かれることがあります。
接線の方程式を解くポイントをまとめたいと思います。
接線の方程式の求め方の区別とは？
最初の問題は接点と書いてたため、
グラフ上にあるのがすぐに分かったと思います。
グラフ上に点がありそこから接線の方程式を求めるのは
1パターンしかありません。
一方で点としか書いてないため、
グラフ上にあるかグラフ外にあるか分かりにくかったと思いますが
そこは恥ずかしがらずに関数に代入して値が一致するかどうかで判別するのが
一番です。
そんなことしたくない方は問題文の与えられてる座標が
グラフ上，接点などの言葉がついてるか見て判断すればいいかと思います。
まとめ
- 微分係数は接線の傾きと同じ
- 接線の方程式の求め方は2種類ある
- 与えられた座標がグラフ上かグラフ外にあるかで判断
今回は接線の方程式の問題を解説しました。
こういう基礎が出来て模試や入試問題を理解できるようになるので
基本的な問題ですが疎かにしないでください。
最後に確認問題を出題します。
確認問題
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