中学1年生で忘れやすいおうぎ形、円錐の表面積を忘れにくく簡単に解く方法するには？

クロシロです。

ここでの問題は私が独自に思いついた数字で問題を出題しており、

引用はしていないのでご了承ください。

私が塾でアルバイトしてた時に

中学1年生が特に苦戦してたなと感じた分野がおうぎ形の面積の求め方です。

私が教えた生徒は見事に出来るようになり

その後の定期テストでも周りが点数が下がった中、

自分は上がったと嬉しい報告を受けたので

今回は学校では恐らくこのように教えないだろう

クロシロ流おうぎ形の面積の求め方を紹介します。

おうぎ形はどうやって出来てる？

一般におうぎ形と言われてもピーンと来ないかと思うので、

食べ物でおうぎ形なものを紹介します。

 例えばピザです。

 元々、ピザは円の形で何等分化して画像のようになりますよね。

つまり、おうぎ形は円の一部なのです。

円錐からおうぎ形の表面積の求め方（母線と底面の半径が分かってる時）

おうぎ形の面積を求めなさいとはあまり問われることは無いと思います。

スタートとして、円錐が絡んできます。

例題として、

母線の長さは8㎝、底面の円の半径を2㎝とするとき、円錐の表面積を求めよ

と問われることが多いかと思います。

まず、忘れてはいけない知識で、

円の面積の公式、円周の公式が必須となります。

円の半径をｒ、円周率をπとして公式は、

円の面積＝πｒ²、円周＝2πｒでした。

まずは、底面の円の面積は、2×2×π＝4πとなります。

先ほどもいったように、おうぎ形は円の一部なので、

円の面積から何かしらの数を割れば答えが出そうじゃないですか？

学校の授業でおうぎ形の公式を学んだかと思いますが、

使いどころさえ分かれば苦手意識が無くなってきます。

今回の求め方は画像の通りで求めることが出来ます。

まず、8×8×πは円錐の母線の長さが円の半径となります。

それだけだとただの円の面積となってしまい、

おうぎ形ではないです。そこで絡んでくるのが次の式です。

必ず最後に何かしらの分数をかける必要があり、

半径8㎝の円を基準として、

半径8㎝の円の周りの長さの内、どのくらいの長さしか使ってないのかが

分母、分子に入ってくる数が決まります。

計算するとおうぎ形の答えは、16π㎠となります。

よって円錐の表面積は４π＋１６π＝20π㎠となります。

画像を見て、違和感がある方もいると思いますが、

あえて、途中式を丁寧に書きました。

先にかけたりするのではなく途中式を丁寧に書くことによって

約分できる部分が見つかりやすく

計算ミスを劇的に減らすことが出来ます。

円錐からおうぎ形の面積の求め方（底面の円の半径とおうぎ形の中心角が分かってる）

今回の例題は、

円錐の底面の円の半径が5㎝、おうぎ形の中心角が150度の時、円錐の表面積を求めよ。

分かってる情報を書くと画像のようになります。

まずは、すぐに求められる底面の面積を求めてしまいましょう。

底面は５×５×π＝２５π㎠となります。

おうぎ形の面積を求めていきますが、先ほどと違って、母線の長さがありません。

おうぎ形の面積に母線の長さは必須です。

なので、おうぎ形の面積を求めるために母線の長さを求めましょう。

今回求めるのはｒです。いわゆるｒについての一次方程式を求めていきます。

この式はどうやって出来たかというと、

おうぎ形の弧の長さを求める公式から作成することが出来ます。

弧の長さを求めるには、底面の円の周りの長さが必須となります。

学校でも結構言われたかと思いますが、

おうぎ形の弧の長さと底面の円の周りの長さは一致してることを。

右辺の式は、

半径5㎝の円の周りの長さの公式で、左辺はおうぎ形の弧の長さの公式となってます。

計算すると最終的にｒ＝１２となります。

ここで、先ほどの画像に戻ってほしいのですが、

150/360(360分の150)という値に注目してほしいです。

これがあれば、おうぎ形の面積は簡単に求めることが出来るからです。

先に約分して5/12(12分の5)としておきます。

求める式は１２×１２×π×5/12(12分の5)＝６０π㎠となります。

よって、答えは２５π㎠＋６０π㎠＝８５π㎠となります。

まとめ

• おうぎ形は母線を半径とした円の一部
• おうぎ形の面積に母線の長さが必須

今回は円錐の表面積を求めていきました。

おうぎ形は円の一部であること、基準を見つけること

計算する前に約分を忘れなければ解けるようになります。

最後に、確認問題を出題するので是非、解いてみてください。

確認問題

 解答・解説はお問い合わせ、TwitterのDMからお願いします。