田舎の塾講師が語る高校数学でややこしいユークリッドの互除法を簡単に証明、分かりやすく解くには?
クロシロです。
ここでの問題は私が独自に考えて数字は適当に入れてるため、引用はしてません。
今回は、互除法を使った計算問題のやり方を紹介します。
ユークリッドって?
ユークリッドとはギリシャの数学者で主に幾何学を専門としてたという説があります。
その中でも高校で学ぶユークリッドの互除法があります。
実は、ユークリッドの互除法は学校の先生はともかく、
現役の塾講師は学んだ人は少ないと思います。
私自身、ギリギリ学んでないので大学生になってから講義で学んで
実際に個別指導塾のアルバイトで教えた経験があります。
実際にユークリッドの互除法のやり方を学んでいきましょう。
ユークリッドの互除法はどこで使う?
まずは、どの場面で使うか確認しましょう。
主に使う問題は
①最大公約数を求める
②一次不定方程式
の2種類です。
それ以外で使うことはほとんどないのでこれだけ覚え解けば大丈夫です。
ユークリッドの互除法を忘れにくくするには?
計算問題などでやり方を覚えろ!と言われた人は少なからずいると思いますが、
私の場合は忘れにくくしろ!と言います。
つまり、なんでこのやり方で解けるの?
ということさえ分かれば何かの拍子に思い出すことが出来るからです。
なので、ユークリッドの互除法を例題を交えて実際に証明してみましょう。
ユークリッドの互除法のやり方・証明
<例題>218と852の最大公約数を求めよ。
このような問題でユークリッドの互除法を使っていきます。
計算方法は画像の通りで、大きい数を小さい数で割ってく作業になります。
一発で終わることはほぼないのでこの作業を何度か行ってください。
1回目で余りが出たら余った数は割る数へといきます。
1回目で割った数は割られる数へといきます。
なので、筆算の数が左から右へ、余った数が空いた空間に入っていくイメージ
で考えれば良いかと思います。
この作業で余りが0になったら作業は終わりになります。
その時の割った数が最大公約数と定義されてるのがユークリッドの互除法なのです。
では、今の例題を用いて実際に証明してみましょう。
色々言葉だけ書かれても良く分からないと思うので
縦218、横852の長方形の図でイメージを付けていただけたらなと思います。
まず、852を218で割った時、商が3で余りが196でしたね。
赤の正方形は1辺が218の正方形です。
最終的なゴールは正方形がびっしり入るのは1辺がいくつの時かで決まるのです。
同様に218を196で割った形をやってみましょう。
緑の正方形は1辺が196の正方形で商は1でまだ余りが22残ってます。
最後に196を22で割った形をやりましょう。
最後の正方形は1辺が22の正方形が8個あり、余りがありません。
これで分かったことは、1辺が22の正方形なら縦218、横852の長方形に
余すことなく当てはめることが出来ることが分かったのです。
ユークリッドの互除法と言ってもやってる作業はただの割り算なので
公式がずらずら書かれた証明文を読んで理解するより図でイメージしながら
理解したほうが忘れにくくなると思いませんか?
これはどんな数でも図の証明で出来るので嘘だと思うならやってみてください。
まとめ
- ユークリッドの互除法は最大公約数を見つけるために使う
- 一次不定方程式にも応用可能
- ユークリッドの互除法の終わりは正方形の長さで決まる
いかがでしたか?
塾で同様に説明してたので忘れにくくはなると思います。
人間は忘れる生き物なので何かをイメージして思い出せるようになれば
誰でも解けるようになるので是非参考にしてみてください。
最後に確認問題を出題するのでやってみてください。
解答、解説はお問い合わせからお願いします。
確認問題
①138と114の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。
②2021と207の最大公約数をユークリッドの互除法を用いて求めよ。