中学数学で学ぶ相似を用いた線分比、中点連結定理の解き方とは?
クロシロです。
ここでの数字は適当に入れてるため、
引用はしてません。
三角形の相似証明に必要な知識として
比を使って長さを求める問題が出てきます。
そこで今回は相似を用いた比の問題、種類を紹介していきます。
三角形の比の種類はどういうものがある?
三角形の長さを求める問題で比を使わないと
解けない問題がいくつか出てきます。
これはあくまで
三角形がそれぞれ相似な関係で平行である条件が無いと使うことが出来ない
ので気を付けてください。
特に名称は無いのですがピラミッド型と思っていただければいいかと思います。
この比を出すのは難しい話でなく
△ABC∽△ADEを利用して対応してる箇所で相似比を持ってきてるのです。
この文字の比の値が具体的に
m:n=M:N=2:1になれば中点連結定理になります。
次はこのような形です。傘型と思っていただければと思います。
これも相似な関係から利用できるのですがこの形で引っかかる生徒が沢山います。
先ほどと同様に△ABC∽△ADEを利用してAD:DB=AE:EC=n:m=N:M
を導き出したのですがこの比はそれぞれの三角形の相似比ではありません。
正確な三角形の相似比はm+n:nとなります。
つまり、分けられた線の部分の比が成り立つだけなので
絶対に相似比として解かないように気を付けてください。
それでは実際に例題を解いて使い分けてみましょう。
相似を用いた線分比 例題
このような例題があったとしましょう。
この手の問題には必ず平行の条件があります。
それと先ほどのどのパターンで求められるか考えて、
考えたところで解答・解説をご覧ください。
このように解くことが出来ます。
xの求め方はどちらでも解くことが可能になってます。
問題によりますが与えられた情報から
どの計算が楽なのか判断して解くしかありません。
問題はyの求め方です。
先ほどから言ってるように、
yを求めるには絶対に相似比で解かないといけません。
5:yの比はオレンジの三角形と青の三角形の相似比から成立してるので
対応してる三角形の辺から
具体的に値がある辺同士で比を作成して解く必要があるのです。
この手の問題を解くとき、
使った比はどの部分なのか確認しないとミスが出てしまいます。
そこだけ気を付ければこの手の問題で引っかかることはありません。
まとめ
- 三角形の相似な関係には必ず相似比がある
- 対応してるところから具体的な値を見つける
- 比の種類で比の値自体が変わる
今回は三角形の相似証明を解いた後の問題で
必要な知識である線分の比を説明しました。
実際はこんな簡単な問題は出ません。
高校入試レベルは図形の相似証明をさせてその後で解かせることが多いので
基本的なやり方さえ抑えれば対応できるようになるので頑張って復習しましょう。