中学数学で学ぶ三角形の相似と合同の違いとは?
クロシロです。
中学3年生で学ぶ最後の山場は相似の図形だと思います。
以前、合同な図形の記事も投稿しましたが、
ごくまれに合同な図形と相似な図形の区別がつかない人がいます。
合同な図形に関する記事はこちらからご覧ください。
そこで今回は、合同な図形と相似な図形の違い
実力テストや入試で図形の証明問題が出た時、
合同なのか相似なのか判断するやり方を紹介します。
合同な図形と相似な図形の違いとは?
合同な図形は寸分の狂いない全く同じ図形のことでした。
相似な図形はどうなるかというと、
元の形は同じです。
ただし、それを拡大されてるか縮小してるかの違いです。
拡大、縮小と言っても分かりにくいと思ってる生徒は少なくありません。
なのでクロシロは誰もが一度は見たことがあって何となく知ってる
拡大、縮小を分かりやすく説明するならドラえもんの道具の
ビッグライト、スモールライトが適してると思ってます。
詳しい道具の情報は分かりませんが、
ライトに当てられた物体が
大きくなったり小さくなったりするのが特徴だったと思います。
ですが、全体にライトを当てたら
そのもの自体が大きくなったり小さくなったりしてませんか?
相似な関係もそれと同じで
形を変えずに大きくなることを拡大、
形を変えずに小さくなることを縮小ということも同時に覚えておきましょう。
では、
相似な図形の相似条件と合同条件の違いを確認しておきましょう。
三角形の相似条件、合同条件の違いとは?
合同条件と相似条件を比べてみると、
2つはただ比が付いただけなので問題は無いのですが、
最後に1つは角だけでいいようになってます。
三角形の合同の証明には最低でも等しい辺、
角を3つ言わないと駄目でした。
しかし、相似になると、2組の角がそれぞれ等しいと使えるなら
角度を2つ等しいと言えれば解くことが出来るようになってます。
たまに質問されることがあって
何で辺は等しいこと言わなくていいの?と聞かれます。
辺の比は1組だけで比べても意味ありません。
最低でも2組で比べないといけないのです。
角度2つ等しいと言えば、
残りの1つは必然的に同じ大きさだと分かり、
3つの角度から出来る三角形のパターンは絶対1つしかありません。
当然、拡大、縮小された関係であるので
大きさが違うのには問題ないため、
2組の角だけ等しいと言えば成立するようになってるのです。
三角形の合同証明と相似証明の区別とは?
まずは問題文に書かれてることをよく見ましょう。
≡(合同)であることを証明せよ。と問われたら当然、
合同の証明であることが分かります。
∽(相似)であることを証明せよ。
と問われたら当然相似の証明であることは分かるかと思います。
他の問われ方として、辺が等しいことを証明せよ。
と問われたらこれは絶対に合同証明であることが分かります。
なぜかと言ったら辺の合同条件は辺の長さが等しいことが記載されてるので
これが相似な関係になるはずが無いのです。
問題は角度が等しいことを証明せよ。と問われたときです。
これははっきり言って問題文に記載されてる情報次第ですが
これだけで判断するのは難しいです。
図形の証明問題には必ず図形が書かれてると思うので、
パッと見て同じ大きさか、違うかで判断するのもありかと思います。
問題文の情報で辺のことが書かれてて長さが等しいことが分かれば
合同の証明になり、
比が成り立つような記載があれば相似の証明であることも判断できます。
まとめ
- 相似な関係はドラえもんの道具のスモールライト、ビッグライトの関係
- 合同、相似条件は辺の比に違いが
- 証明の区別は辺の長さで判断
今回は抑えておくべきことを紹介しました。
この記事の内容が頭に入れば大分
証明問題と戦えるようになると思うので是非、覚えるようにしましょう。