高校数学で忘れがちな等差数列の和の公式とは?簡単に解けるのか?
クロシロです。
ここでの問題は私が独自に思いついた数字で問題を作成してるので
引用は行っておりません。
以前、等差数列の一般項の求め方の記事を投稿しました。
忘れた方はこちらからご確認ください。
https://kuro96white.hatenablog.com/entry/2021/03/11/090720
今回は等差数列の和の公式を説明したいと思います。
等差数列の和の公式とは?
等差数列の和の公式は2つあると思います。
毎度のことですが、公式はただ覚えるのではなく
なぜこの公式が出来たのか覚えると忘れにくくなります。
このような公式を学んだと思いますが、
なぜこのような公式になるか考えたことはありますか?
どうやってこの公式に行きついたか証明してみましょう。
等差数列の和の公式の証明
例えば、初項2、公差2の等差数列があったとして初項から5項までの和を書きます。
すると12が5個出来上がりました。
12が5個あるのでこの合計は60になります。
しかし、これはSが2個分の合計が60ということなので
2で割ると最終的に30になります。
これを文字で置き替えるとどうなるでしょう?
まず、aは初項でlは末項です。所々ん?と思うところがあると思います。
末項とは一番最後の項の数のため、
その1つ前なら公差を引けば一致するようになってます。
今回は5個の数の和から求めようとしてるので
画像のように数が一致するようになってます。
すると、a+lが5つ出来上がってます。
これをS=の形にするとあの公式になることが分かります。
末項を使わずにやるともう一つの公式にすることが出来ます。
受験で証明問題が出ると思いませんが
求め方を知って損は無いと思うのでこの機会に覚えておきましょう。
では、等差数列の和の公式を使った例題をいくつかやってみましょう。
等差数列の和の公式 例題 数列の決定
この手の問題は和の公式を使う問題の中でも比較的解きやすい問題なので
出来ない人はここでマスターできるように頑張ってください。
まず、初項から5項までの和が20から以下の式が出来上がります。
次に第6項から第10項までの和が30とありますが、
勘違いしてはいけないことは、
初項から10項までの和が30ではないので気を付けてください。
先ほどみたいに当てはめると
初項から10項までの和が30という式になって矛盾してしまうので
初項から10項までの和を出したら
そこから初項から5項まで引く必要が出てくるのです。
これでa,dの式が2つ出来たので連立方程式でそれぞれ求めると、
a=16/5(5分の16),d=2/5(5分の2)と求めることが出来るので最終的な一般項は
2n/5+14/5(5分の2n+5分の14)となります。
後の問題は実はそこまで時間かけずに求めることが出来ます。
まとめ
- 等差数列の和の公式は2つ覚える!
- 問題によって使い分けられるように!
- 和の公式から一般項を求めるのは出題されやすい
今回は等差数列の和の公式の基本事項をまとめました。
和の公式は覚えにくいと思うので
証明も取り上げたのでこれで少しは忘れにくくなるのではないかと思います。
最後に確認問題を出題するのでやってみてください。
確認問題
解答、解説が欲しい方はお問い合わせまでお願いします。