高校数学で学ぶ階差数列の解き方とは？間違えが多い箇所は？
クロシロです。
ここでの問題は私が独自に考えた問題なので引用はしておりません。
数列の記事を投稿してきてここからいよいよ
様々な数列の中から階差数列について紹介します。
階差数列とは？
階差数列とは、
始めからある数列の一般項が求めることが出来ない時に使われることが多く、
後ろから前を引いて出来た数の数列と覚えれば良いかと思います。
それでは、階差数列の一般項の求め方を例題を交えてみてみましょう。
階差数列の解き方 等差数列の場合
このような問題があったとしましょう。
パット見て一般項を求めることが出来たらいいのですが
ほとんどの人は出来ないと思います。
そこでやるのが階差数列を疑って解くのです。
先ほど階差数列は後ろから前を引くと記述しましたが、
画像のように引いて新たな数列を作ります。
この赤い数からできる一般項は3nとなります。
これで終わりではなく、
ここから最終的な一般項を求めていきます。
以下のように求めることが出来ます。
注意しないといけないことは後でまとめますが、
この解答で省いて良い文章は無いことを頭に入れといてください。
階差数列の解き方 等比数列の場合
次は等比数列の場合の階差数列について紹介します。
やることは先ほどと同じで
後ろ方前を引くとこのような数列になります。
今回の一般項は等比数列であることが分かりましたね。
次にやる作業も同じことなので解答をご覧ください。
さて、解答を載せてもこれでは分からないというのも無理はありません。
なので、階差数列の解く手順と注意事項を紹介します。
階差数列を解くときの注意点とは？
先ほどの解答を見て、色々おかしいなと思う点がありませんでしたか？
階差数列が出来ない人でも
引いて出来上がった数列の一般項は求めることが出来ると思います。
そしてΣを使って計算することまでは理解できると思います。
しかし問題なのがΣの上がnではなくn-1になってるため
計算が上手くいかない人が多いのではないのでしょうか？
Σの和の公式を知るにはこちらの記事をご覧ください。
等差数列と等比数列の和の公式を覚えてる前提で説明しますが
nで覚えてた公式がn-1になったからといって変わるのは
公式に含まれてるnがn-1になってるだけだとまずは理解しましょう。
最後に記載したn=1は成り立つというのは
最初のn≧2にしないと後で説明が出来なくなるため、
この条件を出すことで2項目までの数は間違いないことが保証されるのです。
それにn=1を代入して成り立つ場合もあれば成り立たない場合もあるので
この記載をしてるのです。
まとめ
- 階差数列は後ろから前を引いてからが始まり
- 一回やって無理ならもう一回
- 規則性が来るまで何度も後ろから前を引いてく
- Σの和の公式を覚え解こう
- n≧2の記述、n=1の代入を忘れずに
今回は階差数列の基本事項を確認しました。
例え、普通の数列が導き出せなくなっても
最終的に階差数列で求めることが出来るので
階差数列の基本的なやり方は出来るようになっておきましょう。
最後に確認問題を出題するので解いてみてください。
確認問題
解答・解説が欲しい方はお問い合わせからお願いします。
