田舎の塾講師が教える等差数列で抑えておくべき一般項の求め方を簡単に・・・
クロシロです。
ここでの問題は私が独自に思いついた数字を入れてるので引用などはしていません。
今回は学ぶ人もいれば
学ばない人もいる数学Bの等差数列の求め方を紹介していきます。
等差数列とは
等差数列とは、数字が規則的に足されたり引かれたりした数が
並んでるものを等差数列といいます。
かけたり割ったりして並んでる数を等比数列と呼ばれます。
等差数列の一般項を求めるには初項と交差が必要になります。
等差数列の一般項の求め方でつまずく可能性があるのでいくつか
例題を紹介します。
等差数列の一般項の求め方 項数が2つある時場合
<例題>第4項が17、第7項が2であるとき一般項を求めよ。
また第何項で初めて負の数になるか求めよ。
この手の問題があったとしましょう。一番シンプルな解き方は連立方程式です。
aは初項、dは交差です。
連立方程式で注意しないといけないことは項数の数をそのまま代入しないことです。
今の連立方程式は一般項の式に代入したものなので
間違えないように気を付けてください。
後は、連立方程式を求めるとa=32,d=‐3と求めることが出来ます。
今回の問題は連立方程式を求めることでなく
等差数列の一般項を求めることが目的なので
一般項にそれぞれ代入すると以下のようになります。
これで一般項を求めることが出来ました。
次の問題はこの数列が第何項で負の数になるか考える必要があります。
ここでのやり方は不等式を求めれば良いのです。やり方は以下の通りになります。
この手の問題は分数が答えになることが多くそのまま答える人がまあまあいて
この答えで言うと11項目と答える人が少なからずいます。
この不等式は11項目はまだ正の数であることをしっかり理解しないといけません。
実際に11項目の数は2であり、まだ負の数ではないので
次の項の12項目の-1で初めて負の数になるので答えは12項目となります。
等差数列の一般項の求め方 和、積が与えられている場合
<例題>等差数列のなす数3つがあり、その和は9、積は-81である時、
その3つの数を求めて一般項も求めよ。
ただし、3つ数の最初の数を初項とする。
この手の問題が来たらやるべきこはやはり文字で置いて方程式を解くのです。
と言っても、3つの数をxyzなどと置くのではないので気を付けてください。
計算しやすいように3つの数をa-d,a,a+dと置きましょう。
今回は等差数列と分かってて連続した3つの数の足した数、
かけた数が分かってるのでわざわざ3つの数を文字で置く必要が無いのです。
まずは、和が9であることを使って式を作ると、
(a-d)+a+(a+d)=9と作ることが出来て、
ここからa=3を求めることが出来ます。
これで片方の文字が分かったので次は積が-81であることを使って式を作ると、
(3-d)×3×(3+d)=-81と作ることが出来て、
ここからd=±6を求めることが出来ます。
今回の答えとしてa=3は確定しますがdが6と-6の2つ求まってしまうのです。
そうなったらどちらも求めてしまえばいいので、a=3,d=-6を代入すると
-9,-3,3となり、初項が-9であり、公差が6なので
ここでの一般項は6n-15となります。
同様に
a=3,d=6を代入すると
-3,3,9となり、初項が-3であり、公差が6なので
ここでの一般項は6n-9となります。
まとめ
- 等差数列の一般項は絶対覚えないと駄目!
- ほとんどの問題は方程式を使えば求めることが出来る
今回は本当に基本的な等差数列の一般項の問題を解説しました。
共通テストや大学の2次試験などの最初の問題で出題されて
パニックになると困るのでここでしっかり確認しておきましょう。
後日、等差数列の和の公式の記事も投稿するので
それまで一般項は完璧に求められるようになってください。
最後に確認問題を出題するので解いてみてください。
確認問題
①第2項が7で第8項が-11である等差数列の一般項を求めよ。
また、第何項で-100を下回るか求めよ。
②4つの数a,b,c,d(a<d)があり、
aは初項でこの順番で等差数列になってるとする。
4つの数の和は30でbc=ad+18を満たすとき、aの値を求め、更に一般項も求めよ。