クロシロの数学、バドミントンアカデミー

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田舎の塾講師が教える中学の計算問題の平方根を簡単に解くために覚えることとは?

クロシロです。

ここでの問題は私が独自に考えた問題で引用などは行っていないのでご了承ください。

今回は、出来る人は出来ますが出来ない人は引っかかる平方根について紹介します。

 

平方根高校生になったら当たり前のように値として出てくるので

ここでしっかり溶けるように頑張りましょう。

 

 

平方根ってそもそも何?

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平方根自体日常で聞く機会はないですよね。

しかし、平方だったら実は小学生の段階で必ず聞いてるはずです。

何かというと、です。

 

これは面積を求める時に出てくる単位であります。

㎝に2がついてること自体が平方なのです。

つまり、2乗したものが平方という意味になります。

 

その一方で平方根その逆で2乗する前の値と思うといいでしょう。

 

平方根の性質

例えば、4の平方根は?と問われたら答えは±2となります。

このようにただの数は問題ないです。

しかし、3の平方根は?と問われたらどうですか?

2乗して3になる値何て無い!って習ってない人はそう思うでしょう。

 

しかし、平方根を使えば求めることが出来ます!

先ほどの答えは√3(ルート3)となります。

√と読みますが問題文では根号と書かれることも少なくないので

どちらでもいけるように覚えときましょう。

このように整数で無い数が答えとなるときに用いられます。

 

そのほかの性質として平方根の中身は正の数であることです。

例えば、4の平方根は±2でした。

ではー4の平方根は何かといわれたら今の時点ではありません

これが平方根の性質で、2乗してマイナスにある値は中学生の段階ではないのです。

 

平方根の問題で引っかかりやすい箇所は?

例題として、√16の根号を外せと言われたら4が答えとなります。

途中式として√16=√4²=4となります。

これで何となく根号と2乗は相殺できるのではないかと予想がつきませんか?

 

では、√(-4)²の根号を外せと言われたらどうなるでしょう?

先ほどのパターンで√(-4)²=‐4と答えたくなりますが、

これが引っ掛けポイントその1です。

 

根号の中身はいかなることがあってもプラスの値で無いといけないということを。

この手の問題は√(-4)²=√16=√4²=4となります。

こうなると答えは必ず正の数になると思ってませんか?

それが引っ掛けポイントその2です。

 

-√16の根号を外せと言われたらこれの答えはー4となります。

つまり、根号の中身に-があってもほとんどの問題は2乗されてるので

ーになることはありませんが、今の例題は根号の外に-があるので

答えの最後に-がついたと思っていただければいいかと思います。

 

平方根の計算

まず、乗法と除法は根号の中身のかけ算、割り算をするだけです。

少し注意しないといけないことは答えが根号を外せる値になった時です。

例えば、√63÷√7=√9終わってはいけないのです。

普通の割り算ならこれで良いのですが、

√9=√3²=3となるので最終的な答えは3となります。

 

次に、加法と減法ですが、数をそのまま足したり引いたりしてはいけません!!

分かるように√2+√3=√5になるかやってみましょう。

まず√2≒1.41くらいで√3≒1.73くらいなのでこれを本当に足せば

3.1くらいにならないとおかしいです。

 

しかし、実際の√5は2.23くらいです。この段階で矛盾してませんか?

これを他の値で足そうが引こうが必ず今みたいに矛盾してしまいます。

実際に√2+√3は何かというと、これ以上何もできません。

 

では。どういった状態で足したり引いたりできるのかと言うと、

根号の中身が同じであれば可能です。

例えば、2√3+4√3だと6√3となります。

結論、平方根の加法、減法は文字式と同じと覚えとくといいでしょう。

 

平方根の有利化

最後に平方根の有利化です。

例えば、2/√2(√2分の2)を有利化しなさいという問題があったとしましょう。

そもそも有利化の計算は実はただの通分なのです。

 

根号がついた数は無理数と呼ばれ、具体的な数が完全に定まってない値であるため、

2を√2等分しなさいと言われても無理ですよね?

つまり、分数の分母が無理数だと物理的に計算できないため、

何とか分母を物理的に割れる数にする作業が有利化なのです。

 

やり方はかなりシンプルで、

分母の√の数を分母、分子それぞれにかければ終わりです。

今回の場合は√2をそれぞれかければいいのです。

それぞれにかけると、2√2/2(2分の2√2)となり、更に、約分することが出来ます

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それでは、上のどちらが正しく約分出来てるでしょう?

当然、ですよね?

ここで誤解しがちなことですが、根号ついてる同士なら約分しても構わないのですが、

根号と普通の数を約分しては絶対にダメです。

 

平方根の応用じみた問題

例題として、√20の小数部分を求めよ

と問われたとき、出来ない人がまあまあいます。

この手の問題のカギは、√20って大体どのくらいだろ?を知る必要があります。

 

後で紹介しますが、覚えたほうが良いものの中に

2乗の数を覚えることで解くスピードが格段に上がります。

では、20に近い数で2乗された数は何かというと16と25が出てきます。

 

16<20<25は当然ですよね?

ではこれに全て根号をつけると4<√20<5となります。

つまり、√20は4.・・・位であることが確定するのです。

√20に4を引けば小数部分のみが残りませんか?よって√20ー4が答えとなります。

 

他の例題として、√97‐2nが正の整数になるnの値を求めよ

こういった問題は学校の定期テストで出題されやすいかと思います。

 

まず、解くカギはやはり2乗された値です。

それと、97‐2nが奇数か偶数かを判断することです。

今回は97‐2nはnにどんな整数を入れても必ず奇数になります。

なので、2乗された値が奇数なものを見つければ良いのです。

 

97‐2nの根号を消せる値は1,9,25,49,81となります。

後は、それぞれの方程式を解けば順番にn=48,44,36,24,8となるはずです。

 

平方根のために覚えたほうが良いものは?

私が学習塾でアルバイトをしてた時に生徒によく言ってたのが

①2乗の値は15まで覚えなさい。②簡単な数の変形は覚えなさい。

 

①は平方根の分野に2乗の値は必ず関係してくるので

いちいち計算したら終わりが無いので

いっそのこと覚えたほうが手っ取り早いと思ってます。

実は、2乗の値には規則性があります。(高校の分野で言うと数列で表せる)

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このような規則性があることを頭の隅っこに入れといて損な無いです。

 

②は例えば√8=2√2や√12=2√3などを覚えてほしいのです。

高校受験は時間との勝負になるため、余計な計算はなるべく省いてほしいのです。

そのために覚えられるものは覚えておく必要があるのです。

 

まとめ

  • 平方は2乗のことで平方根は2乗する前は何だったか
  • 平方根の乗法、除法はそのままの計算
  • 平方根の加法、減法は文字式の計算と一緒
  • 2乗の値は15まで覚えよう

3年生の内容でここで躓いたら少し危ない範囲を今回はまとめてみました。

平方根は高校になったら更に難しさが増すので

簡単な計算は今のうちにできるようになっておきましょう。

最後に確認問題をいくつか出題するので解いてみてください。

 

確認問題

1⃣以下の平方根の変形で正しいものには〇、

正しくないものには正しい答えを求めよ。

①√25=±5   ②25の平方根は5である

 

③√(ー2)²=2  ④ー√(ー7)²=7

 

2⃣次の問題を計算せよ。

①√8×√6 ②√12×√27 ③√114÷√2

 

④√124÷√31 ⑤4√2+2√3+5√3+√2 ⑥3√3ー8√5-5√3-4√5

 

3⃣√41の小数部分をaとするとき、a²+12a+27の値を求めよ

 

4⃣4<√3nー2<5になる自然数nの値を求めよ。