高校数学で学ぶ余弦定理と正弦定理の使い分けとは？

クロシロです。

ここでの問題の数字は適当に入れてるため、

引用はしてません。

この記事を見てる方は正弦定理と余弦定理は覚えたけど

どの問題で使えばいいか困ってませんか？

今回は

正弦定理と余弦定理の使う場面をそれぞれ紹介していきます。

正弦定理、余弦定理とは？

まず初めに

正弦定理と余弦定理をそれぞれ確認しておきましょう。

教科書や参考書などに正弦定理は

このような公式が書かれていると思います。

角度と向かい合ってる辺同士で関係性があるのが正弦定理となります。

良く誤解するのが、

正弦定理は外接円(図形の外側にくっついてる円)

がないと使えない？と思われがちですが

そんなことは無いので気を付けてください。

一方で余弦定理は

3つの辺または2つの辺、一つの角度が分かってる状態で

使われるのが余弦定理です。

簡単に確認したところで

次に正弦定理と余弦定理を

どんな問題で使うか例題を用いて説明していきます。

正弦定理を使う問題とは？

このような例題があったとしましょう。

まずやるべきことは与えられた値を実際に図形に書いていきましょう。

今回の問題だとこのようになると思います。

ここで見るポイントは

角度と辺が向かい合ってるかどうかです。

今回で言うと∠Aとaの値が分かってます。

bの値は分かっててsinBの値が分かってません。

sinBの値を求めよのように

明確にsinの値を求めよと言われたら使うのも1つです。

このように向かい合ってる関係が1つでもあれば

正弦定理を使ったほうが早く解くことが出来ます。

余弦定理でも解くことは不可能ではないですが

手間がかなりかかります。

では、解答・解説をご覧ください。

このように解くことが出来ます。注意しないといけないことは

sinの値は必ず正の数になってないといけないことです。

sinは0°から180°の範囲で正の数になります。

三角形の1つの角度が180°を超えることはまずありえないので

sinの値が負の数になったら角度が180°より大きいことを言ってることになるので

この世に存在しない三角形になってしまうのです。

余弦定理を用いる問題とは？

では次に余弦定理を用いる問題を見ていきましょう。

先ほどと同様に分かってる値を書き込んでいきましょう。

書き込むとこのようになります。

あれ？と思った方もいると思います。

先ほど向かい合ってる辺、角度が分かってれば正弦定理を使う

と書いてたと思います。

今回は求めるのがⅽの部分で

肝心のcは辺も分からなければ

角度も分かってません。

つまり、向かい合ってる辺と角度はあるが

求めたい辺、角度のどちらかが分かってないと

正弦定理は使えないのです。

正弦定理を使って求めることは不可能ではありませんが

今の問題に関係ない∠Bや∠Cの値を求めるまたは

それぞれのsinの値を求めないと出来ません。

では、解答・解説をご覧ください。

このように解くことが出来ます。

余弦定理のポイントとして

向かい合ってる辺、角度のペアを探すというより

2つの辺と1つの角度が分かってれば余弦定理を使ったほうが早いです。

正弦定理と余弦定理を使い分けるポイントとは？

図のように向かい合ってる関係があって他の角度が分かってれば

正弦定理の方が手間が少なくすみます。

余弦定理は2辺とはさまってる角度が分かってれば

真っ先に余弦定理が良いです。

他にはさまってる角度にある辺の片方が分かってないけど

角度にはさまってない辺が分かってても例題のように余弦定理を使うことが可能です。

まとめ

• 辺が1つ2つ角度が分かってれば正弦定理
• 角度が1つで辺が2つ分かってれば余弦定理
• 辺は正の数、角度は0°から180°の範囲内に必ずなる！

学校の定期試験や共通テストなどで良く出題されやすい問題なので

初めのうちは使い分かられるようになるというよりは

手間がかかってもいいから確実に求められるようになることを優先しましょう。

最後に確認問題を出題するので解いてみてください。

確認問題

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